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In der ersten Klasse sind die sogenannten „Umkehraufgaben“ und „Tauschaufgaben“ ein verbreiteter Standard im Mathematikunterricht. Die Begriffe verwirren viele Schüler. Wir erklären, was es damit auf sich hat.

Da Umkehr- und Tauschaufgaben eine Erfindung der Grundschuldidaktik sind und keine originär mathematischen Begriffe, ist auch eine mathematisch sachlogische Erarbeitung nicht ganz einfach. Das Problem beschäftigt viele Nachhilfeseiten und -Verlage. Warum, zeigt folgendes Gespräch mit einer Lehrkraft über die entsprechenden Rechenaufgaben eines Erstklässlers:

Ich: „Ich verstehe hier etwas nicht… Warum markieren Sie die Rechnung „9 – 5 = 4“ als Umkehraufgabe von 5 + 4 = 9 bei diesem Kind als Fehler?“
Lehrkraft: „Da hat das Kind nicht aufgepasst.“
Ich: „Aber es hat doch völlig richtig gerechnet.“
Lehrkraft: „Nein, es muss heißen 9 – 4 = 5.“
Ich: „Warum???“
Lehrkraft: „Die Kinder müssen den Begriff „Umkehraufgabe“ lernen. Deshalb müssen sie immer genau das wegnehmen, was man dazugetan hat. So haben wir das auch erarbeitet: Zu 5 Kühen auf der Wiese kommen 4 hinzu, kehren um und gehen wieder. Also -4. Sonst verstehen die Kinder nicht, was eine Umkehraufgabe ist und was eine Tauschaufgabe.“
Ich: „Finden Sie das nicht verwirrend? Die Kinder sollten doch flexibel die Zerlegungen der 9 in die Teilmengen 4 und 5 verstehen. Wenn man dabei auf einer bestimmten Reihenfolge besteht, suggeriert man einen Zusammenhang, der mathematisch nicht existiert.“
Lehrkraft: „Nein, Sie verstehen das nicht. Das Wichtige sind die Begriffe Tauschaufgabe und Umkehraufgabe. Das Denken in Mengen haben wir so noch nicht besprechen können, dafür war keine Zeit.“

(Zu diesem Zeitpunkt wird bereits seit drei Wochen in der Klasse die Subtraktion behandelt.)

Wie ist es denn nun richtig?

Voraussetzungen: Ehe man Umkehr- oder Tauschaufgaben durchführt, muss auf jeden Fall der Mengenbegriff gesichert sein und die Zerlegungen der Zahlen bis 10 müssen automatisiert sein. Die Kinder müssen also wissen, dass z.B. 9 in 4 und 5 oder auch 3 und 6 zerlegt werden kann und diese Triplets auswendig beherrschen. Außerdem müssen die Rechenzeichen erarbeitet und verstanden sein, das betrifft auch das =. Viele Kinder denken in der ersten Klasse nur, dass = bedeutet: „Nach diesem Zeichen musst du etwas hinschreiben.“ Von Platzhalteraufgaben wie 5 + __ = 9 sind sie dann verwirrt, da man hinter das = ja nichts mehr schreiben kann. Stattdessen müssten die Kinder wissen, dass das = wie die Mitte einer Waage funktioniert und bedeutet, dass die Angaben auf beiden Seiten des = den gleichen Wert ergeben. So wie in 4 + 5 = 3 + 6.

Tauschaufgaben: Tauschaufgaben gibt es bei der Addition und der Multiplikation. Sie sind letztlich die Anwendung des Kommutativgesetzes. Dieses besagt, dass die Summanden einer Addition und die Faktoren einer Multiplikation ihre Plätze tauschen dürfen, ohne dass sich dadurch das Ergebnis verändert. Also: 2 + 3 + 4 = 4 + 3 + 2 = 3 + 2 + 4 und 2 × 3 × 4 = 4 × 3 × 2 = 3 × 2 × 4. Wichtig ist, dass dies bei der Subtraktion und Division nicht gilt, da 4 – 2 nicht das gleiche ist wie 2 – 4 und 4 : 2 nicht das gleiche wie 2 : 4.

Wenn das Verständnis dieser Operation ausführlich im Unterricht gesichert wird, sind „Tauschaufgaben“ eine notwendige und sinnvolle Aufgabenform, um sich mit dem Kommutativgesetz auseinanderzusetzen.

Umkehraufgaben:
„Umkehraufgabe“ ist ein nicht-mathematischer Ausdruck dafür, die gegenteilige Rechenoperation durchzuführen, also aus einer Additionsaufgabe eine Subtraktionsaufgabe mit den gleichen Zahlen zu bilden oder aus einer Multiplikationsaufgabe eine passende Divisionsaufgabe, und umgekehrt. Hintergrund ist die Einsicht in die prinzipielle Umkehrbarkeit der Operationen. Das Problem an Umkehraufgaben ist, dass sie einen viel komplexeren Zusammenhang betreffen als die Tauschaufgaben mit dem Kommutativgesetz.

Von „Aufgabenfamilien“ zu sprechen, wie in der Grundschuldidaktik verbreitet, geht am Kern – nämlich der logischen Operation – vorbei. Gerade rechenschwache Kinder verstehen Mathematik nur als Ansammlung von Algorithmen, mit denen man Aufgaben löst, um fertig zu werden. Dass die Aufgaben aber das Abbild logischer und faszinierender Zusammenhänge sind, bleibt ihnen unerschlossen. Lenkt der Unterricht den Fokus auf Aufgaben anstatt Zusammenhänge, wird diese Fehlentwicklung verstärkt oder sogar ausgelöst.

Hinter Umkehraufgaben steht der Gedanke, dass eine Summe aus Summanden zusammengesetzt werden und durch eine Subtraktion wieder in die ursprünglichen Summanden zerlegt werden kann. Dringt man noch weiter zum Kern dieser Überlegung vor, landet man bei den o.g. Zahlentriplets. Die dafür von Michael Gaidoschik vorgeschlagene Notation

9

Λ

4     5

veranschaulicht das und stellt nach seiner Empfehlung eine Ausgangsschreibweise für alle möglichen Rechnungen – aka „Umkehraufgaben“ – mit der Menge 9 bestehend aus den Mengen 4 und 5 dar:

4 + 5 = 9,       5 + 4 = 9     (dies sind die Tauschaufgaben voneinander)

9  –  5 = 4,      9 – 4 = 5      (dies sind mögliche Umkehraufgaben zu jeder der beiden obigen Additionen).

Wichtig für das richtige Verständnis ist hier gerade nicht, dass man das wegnimmt, was zuletzt „dazugekommen“ ist. Entscheidend ist vielmehr, dass die Schüler verstehen, wie die Subtraktion die zweite der beiden Teilmengen, aus denen der Minuend besteht, „sichtbar“ macht. Wenn ich von 9 genau 5 wegnehme, müssen genau 4 übrig bleiben, nicht 3 oder 6.

Wie Hans Aebli (Grundlagen des Lehrens: Eine Allgemeine Didaktik auf psychologischer Grundlage) immer eindrücklich betont hat: Das Wichtige im Mathematikunterricht ist, die Operation verständlich zu machen. Alle Bezeichnungen und Übungen müssen diesem Zweck dienen. „Tauschaufgaben“ und „Umkehraufgaben“ als „Aufgabenfamilien“ darzustellen anstatt sich auf die Operationen dahinter zu konzentrieren, verschleiert die wahren Zusammenhänge eher, als sie zu erhellen. Es besteht die Gefahr, dass sich diese Begriffe verselbständigen und das Bewusstsein für die wirklich wichtigen mathematischen Zusammenhänge darüber verlorengeht – bei Schülern und Lehrern. Das sieht man am oben geschilderten Beispiel.

 

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